Mathématiques · Nombres et algèbre

Calcul littéral

Développer, factoriser et utiliser les identités remarquables en Seconde : cours, fiche de révision, exercices corrigés et sujet type contrôle.

12 exercices corrigés Programme officiel 2026-2027 Méthode & QCM interactifs

L'essentiel en 30 secondes

Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est l'inverse. Les trois identités remarquables s'utilisent dans les deux sens : sous forme développée pour réduire ou comparer, ou sous forme factorisée pour résoudre des équations ou étudier un signe.

I. Développer et factoriser : le vocabulaire

Une expression littérale est une expression contenant des lettres. Selon le problème, on a intérêt à l'écrire sous forme de somme ou sous forme de produit : ce sont les deux visages d'une même expression.

Définition — Les deux opérations

Développer c'est transformer un produit en une somme.
Factoriser c'est transformer une somme en un produit.

II. Le Développement

1. La distributivité simple

Exemple du cours

Formule : $a(b+c) = ab + ac$

Exemple : $A = 4(5+x) = 20 + 4x$

Rappel sur la règle des signes

Un signe "-" devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur de la parenthèse.

Exemple : $F = -(5-x) = -5 + x$

QCM : distributivité simple

Développer et réduire l'expression $E=-x(2-3x)$.

$-2x-3x^2$

Incorrect : attention à la règle des signes lors de la distributivité. $-x \times (-3x) = +3x^2$ et non $-3x^2$. Le résultat correct est $-2x+3x^2$.

Bien joué : tu as évité le piège du produit de deux nombres négatifs, $-x \times (-3x) = +3x^2$.

$-2x+3x^2$

Bravo ! On distribue le $-x$ : $-x \times 2 - x \times (-3x) = -2x+3x^2$.

C'était la bonne réponse : en distribuant le $-x$, on obtient $-x \times 2 = -2x$ et $-x \times (-3x) = +3x^2$.

$2x+3x^2$

Incorrect : attention au premier terme. En multipliant $-x$ par $2$, on obtient $-2x$ et non $+2x$. Le résultat correct est $-2x+3x^2$.

Parfait, pas d'erreur sur le signe du premier terme : $-x \times 2$ donne bien $-2x$.

Bien joué, tu as bien compris cette notion. Continue comme ça !

Dommage, c'est en se trompant qu'on apprend ! Tu trouveras d'autres exercices sur ce thème dans l'onglet « Exercices corrigés » du chapitre.

2. La double-distributivité

Exemple du cours

Formule : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Exemple : $A = (2x+3)(x+8) = 2x^2 + 16x + 3x + 24 = 2x^2 + 19x + 24$

QCM : double distributivité

Développer et réduire l'expression $B=(-3+x)(4-5x)$.

$5x^2-19x-12$

Incorrect : attention au signe du terme en $x^2$. En multipliant $x$ par $-5x$, on obtient $-5x^2$ et non $+5x^2$. Reprends le calcul de la double distributivité.

Bien joué : tu as repéré le problème de signe sur le terme en $x^2$.

$-5x^2-x-12$

Incorrect : l'erreur vient de l'addition des termes en $x$. $15x + 4x$ donne $19x$ et non $-x$.

Parfait : tu as évité l'erreur sur la réduction des termes en $x$ ($15x + 4x = 19x$).

$-5x^2+19x-12$

Bravo, c'est exact. La double distributivité donne $-12 + 15x + 4x - 5x^2$, qui se réduit à $-5x^2 + 19x - 12$.

C'était la bonne réponse : multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis regroupe les termes en $x$.

Félicitations, tu as bien compris cette notion : tu peux continuer en toute sérénité.

Dommage, c'est en se trompant qu'on apprend ! Tu as d'autres exercices sur cette notion dans l'onglet « Exercices corrigés » du chapitre.

III. Les Identités Remarquables

Il existe trois formules essentielles à connaître par cœur pour développer et factoriser plus rapidement :

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

1) Utiliser les identités pour développer

Exemple d'application

Exemple : $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

QCM : développer avec les identités remarquables

Développer l'expression $(2x-5)^2$.

$4x^2-25$

Incorrect : tu as oublié le double produit. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et non $a^2-b^2$. Ici $a=2x$ et $b=5$, donc $(2x-5)^2=4x^2-20x+25$.

Bien joué : tu n'as pas confondu $(a-b)^2$ avec $a^2-b^2$.

$4x^2-20x+25$

Bravo ! Avec $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $a=2x$ et $b=5$ : $a^2=4x^2$, $2ab=20x$ et $b^2=25$.

C'était la bonne réponse : $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ donne $4x^2-20x+25$.

$4x^2+20x+25$

Incorrect : pour $(a-b)^2$, le double produit $2ab$ est précédé du signe « − ». C'est $(a+b)^2$ qui donne $+2ab$.

Parfait : tu as vu que le double produit prend le signe « − » dans $(a-b)^2$.

Bien joué, tu maîtrises le développement avec les identités remarquables. Continue comme ça !

Dommage, c'est en se trompant qu'on apprend ! Retiens les trois formules et entraîne-toi avec les exercices 4 et 5 de l'onglet « Exercices corrigés ».

2) Utiliser les identités pour factoriser

Il faut retrouver les termes $a^2$, $2ab$, et $b^2$ des identités remarquables.

Exemple d'application

Exemple : $A = x^2 - 2x + 1$

C'est la 2ème identité remarquable avec $a=x$ et $b=1$, on obtient donc $A = (x-1)^2$

QCM : factoriser avec les identités remarquables

Factoriser l'expression $9x^2-12x+4$.

$(3x+2)^2$

Incorrect : en développant $(3x+2)^2$, on obtient $9x^2+12x+4$ : le terme central est $+12x$ et non $-12x$.

Bien joué : tu as vérifié le signe du terme central.

$(3x-2)^2$

Bravo ! $9x^2=(3x)^2$, $4=2^2$ et $2\times 3x\times 2=12x$ avec le signe « − » : c'est $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

C'était la bonne réponse : on reconnaît $a^2-2ab+b^2$ avec $a=3x$ et $b=2$, soit $(3x-2)^2$.

$(3x-2)(3x+2)$

Incorrect : $(3x-2)(3x+2)=9x^2-4$ (différence de deux carrés). Ici il y a un terme en $x$, donc il s'agit d'un carré.

Parfait : tu n'as pas confondu un carré avec une différence de deux carrés.

Félicitations, tu sais reconnaître et factoriser avec les identités remarquables.

Dommage, c'est en se trompant qu'on apprend ! Repère d'abord $a^2$ et $b^2$, puis vérifie que le terme central vaut bien $\pm 2ab$. Les exercices 8 et 9 t'attendent dans l'onglet « Exercices corrigés ».

IV. La Factorisation

Pour factoriser, il faut trouver dans chaque terme un facteur commun.

Exemple simple

$A = 3{,}5x - 4{,}2x + 2{,}1x = x(3{,}5 - 4{,}2 + 2{,}1) = 1{,}4x$

QCM : factorisation par facteur commun

Factoriser l'expression $6x^2-9x$.

$3x(2x-9)$

Incorrect : $9x\div 3x=3$ et non $9$. Vérifie toujours en redéveloppant : $3x(2x-9)=6x^2-27x$.

Bien joué : tu as bien divisé $9x$ par $3x$ pour trouver $3$.

$3x(2x-3)$

Bravo ! Le facteur commun est $3x$ : $6x^2=3x\times 2x$ et $9x=3x\times 3$, d'où $3x(2x-3)$.

C'était la bonne réponse : le plus grand facteur commun de $6x^2$ et $9x$ est $3x$.

$3x(2x+3)$

Incorrect : le signe de la parenthèse doit rester celui de l'expression de départ. En redéveloppant, $3x(2x+3)=6x^2+9x$.

Parfait : tu as conservé le signe « − » dans la parenthèse.

Bien joué, tu as bien compris la factorisation par facteur commun.

Dommage, c'est en se trompant qu'on apprend ! Cherche le plus grand facteur commun, puis vérifie en redéveloppant. Exercice 6 dans l'onglet « Exercices corrigés ».

Exemple complexe

Factoriser avec une expression complexe :
Parfois, le facteur commun est une parenthèse entière.

$A = 3(2+3x) - (5+2x)(2+3x)$

Le facteur commun est $(2+3x)$.

$A = (2+3x) \big[3 - (5+2x)\big]$
$A = (2+3x)(3 - 5 - 2x)$
$A = (2+3x)(-2 - 2x)$

Fiche de révision : calcul littéral (Seconde)

À retenir en 5 points

Développer : produit $\rightarrow$ somme. Factoriser : somme $\rightarrow$ produit.
Distributivité simple : $k(a+b) = ka + kb$.
Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
Les 3 identités remarquables s'utilisent dans les deux sens.
Pour factoriser : facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite.

1. Les formules à connaître par cœur

Formules du calcul littéral (valables pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$, $k$)
Règle	Forme produit (factorisée)	Forme somme (développée)
Distributivité simple	$k(a+b)$	$ka + kb$
Double distributivité	$(a+b)(c+d)$	$ac + ad + bc + bd$
1^re identité remarquable	$(a+b)^2$	$a^2 + 2ab + b^2$
2^e identité remarquable	$(a-b)^2$	$a^2 - 2ab + b^2$
3^e identité remarquable	$(a+b)(a-b)$	$a^2 - b^2$

On lit le tableau de gauche à droite pour développer et de droite à gauche pour factoriser.

2. Les méthodes pas à pas

Choisis une méthode et ouvre-la pour suivre les étapes une par une.

Développer et réduire3 étapes

Étape 1
Repérer la forme : $k(\dots)$, $(\dots)(\dots)$ ou une identité remarquable.
Étape 2
Distribuer chaque terme en gardant son signe.
Étape 3
Réduire : regrouper les $x^2$, les $x$ et les nombres.

Exemple : $(x-4)(2x+1) = 2x^2 + x - 8x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$

Factoriser par un facteur commun3 étapes

Étape 1
Écrire chaque terme comme un produit.
Étape 2
Repérer le facteur présent dans tous les termes (nombre, $x$ ou parenthèse).
Étape 3
Le mettre devant et écrire « ce qui reste » entre crochets.

Exemple : $5x^2 - 15x = 5x \times x - 5x \times 3 = 5x(x-3)$

Factoriser avec une identité remarquable3 étapes

Étape 1
Trois termes ? Chercher $a^2$ et $b^2$, puis vérifier le double produit $2ab$.
Étape 2
Deux carrés séparés par « $-$ » ? C'est $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Étape 3
Vérifier en redéveloppant.

Exemple : $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5)$

Développer ou factoriser ?3 étapes

Étape 1
Lire la consigne : faut-il réduire, comparer ou calculer une image ? On utilise alors la forme développée.
Étape 2
Faut-il résoudre une équation « $\dots = 0$ » ou étudier un signe ? On utilise la forme factorisée.
Étape 3
Faut-il montrer une égalité ? On développe les deux membres puis on compare.

3. Checklist avant le contrôle

Je sais développer avec la distributivité simple et double, sans erreur de signe.
Je connais les 3 identités remarquables par cœur, dans les deux sens.
Je cherche toujours un facteur commun avant de tenter une identité remarquable.
Je sais reconnaître une parenthèse commune, même quand elle est « cachée ».
Je vérifie une factorisation en redéveloppant le résultat.

S'entraîner maintenant : 12 exercices corrigés de calcul littéral → Pour aller plus loin : résoudre des équations produit nul (chapitre Équations et inéquations) →

Exercices corrigés de calcul littéral (Seconde)

12 exercices progressifs, classés de la difficulté 1 à 5 : développer (exercices 1 à 5), factoriser (exercices 6 à 10), puis démontrer et choisir la bonne forme (exercices 11 et 12). Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction détaillée.

Exercice 1 : Distributivité simple

Développer et réduire :

$A = 5(2x - 3)$
$B = -3(x - 4)$
$C = 2x(3x + 1)$
$D = -(7 - 2x)$

Voir la correction

$A = 10x - 15$
$B = -3x + 12$
$C = 6x^2 + 2x$
$D = -7 + 2x$ (le signe « $-$ » change tous les signes de la parenthèse).

Exercice 2 : Double distributivité

Développer et réduire :

$A = (x + 2)(x + 5)$
$B = (2x - 1)(x + 3)$
$C = (3 - x)(2x - 4)$

Voir la correction

$A = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10$
$B = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$
$C = 6x - 12 - 2x^2 + 4x = -2x^2 + 10x - 12$

Exercice 3 : Développer puis réduire une somme

Développer et réduire :

$E = 3(x + 1) - (2x - 5)$
$F = (x + 1)(x - 2) + 3x$

Voir la correction

$E = 3x + 3 - 2x + 5 = x + 8$
$F = x^2 - 2x + x - 2 + 3x = x^2 + 2x - 2$

Exercice 4 : Développer avec les identités remarquables

Développer à l'aide d'une identité remarquable :

$(x + 4)^2$
$(2x - 3)^2$
$(x + 6)(x - 6)$
$(5x + 1)^2$

Voir la correction

$x^2 + 8x + 16$
$4x^2 - 12x + 9$ (ici $a = 2x$, $b = 3$, donc $2ab = 12x$)
$x^2 - 36$
$25x^2 + 10x + 1$

Exercice 5 : Identités remarquables et signes

Développer $(3 - 2x)^2$.
Développer $(4x - 7)(4x + 7)$.
Développer et réduire $G = (x + 3)^2 - (x - 1)^2$.

Voir la correction

$(3 - 2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2$
$(4x - 7)(4x + 7) = 16x^2 - 49$
$G = x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 2x + 1) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 2x - 1 = 8x + 8$. Attention aux parenthèses autour du deuxième carré.

Exercice 6 : Factoriser par un facteur commun

Factoriser :

$4x + 12$
$6x^2 - 9x$
$10x^2 + 5x$
$7x - 7$

Voir la correction

$4(x + 3)$
$3x(2x - 3)$
$5x(2x + 1)$
$7(x - 1)$ : il reste $1$ quand on factorise le terme $7$.

Exercice 7 : Factoriser par une parenthèse commune

Factoriser :

$(x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 5)$
$(2x - 3)(x + 1) - (2x - 3)(4x - 2)$
$(x - 5)^2 + 2(x - 5)$

Voir la correction

$(x + 2)\big[(3x - 1) + (x + 5)\big] = (x + 2)(4x + 4) = 4(x + 2)(x + 1)$
$(2x - 3)\big[(x + 1) - (4x - 2)\big] = (2x - 3)(-3x + 3)$
$(x - 5)\big[(x - 5) + 2\big] = (x - 5)(x - 3)$

Exercice 8 : Factoriser avec une identité remarquable

Factoriser :

$x^2 + 10x + 25$
$4x^2 - 12x + 9$
$x^2 - 81$
$25x^2 - 16$

Voir la correction

$(x + 5)^2$ car $2 \times x \times 5 = 10x$
$(2x - 3)^2$ car $2 \times 2x \times 3 = 12x$
$(x - 9)(x + 9)$
$(5x - 4)(5x + 4)$

Exercice 9 : Différence de deux carrés avec parenthèses

Factoriser :

$(x + 1)^2 - 9$
$(2x - 1)^2 - (x + 3)^2$
$16 - (x - 2)^2$

Voir la correction

$(x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = (x - 2)(x + 4)$
$\big[(2x - 1) - (x + 3)\big]\big[(2x - 1) + (x + 3)\big] = (x - 4)(3x + 2)$
$\big[4 - (x - 2)\big]\big[4 + (x - 2)\big] = (6 - x)(x + 2)$

Exercice 10 : Facteur commun caché

Factoriser en faisant apparaître un facteur commun :

$x^2 - 9 + (x + 3)(2x - 1)$
$(x - 2)(x + 5) - (x^2 - 4)$

Voir la correction

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, donc l'expression vaut $(x + 3)\big[(x - 3) + (2x - 1)\big] = (x + 3)(3x - 4)$.
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, donc l'expression vaut $(x - 2)\big[(x + 5) - (x + 2)\big] = 3(x - 2)$.

Exercice 11 : Démontrer avec le calcul littéral

On considère le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre $x$.
Lui ajouter $3$, puis élever le résultat au carré.
Soustraire le carré du nombre de départ.

Montrer que le résultat est égal à $6x + 9$.
En déduire que, si $x$ est un entier, le résultat est toujours un multiple de $3$.

Voir la correction

Le programme donne $(x + 3)^2 - x^2 = x^2 + 6x + 9 - x^2 = 6x + 9$.
$6x + 9 = 3(2x + 3)$. Si $x$ est entier, $2x + 3$ est entier, donc le résultat est un multiple de $3$.

Exercice 12 : Choisir la forme adaptée

Soit $E = (2x + 3)^2 - (x + 1)^2$.

Développer et réduire $E$.
Factoriser $E$.
Calculer $E$ pour $x = 0$, puis pour $x = -2$, en choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée.

Voir la correction

$E = 4x^2 + 12x + 9 - (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 10x + 8$
$E = \big[(2x + 3) - (x + 1)\big]\big[(2x + 3) + (x + 1)\big] = (x + 2)(3x + 4)$
Pour $x = 0$, la forme développée donne directement $E = 8$. Pour $x = -2$, la forme factorisée donne $E = 0 \times (-2) = 0$.

Prêt ? Passe au sujet type contrôle corrigé →

Sujet type contrôle : calcul littéral (Seconde)

Durée : 50 minutes Barème : 20 points Calculatrice : non autorisée

Conseils du jour J

Lis tout le sujet avant de commencer et commence par les exercices où tu es le plus à l'aise.
Écris chaque étape de calcul : une réponse seule ne rapporte pas tous les points.
Garde 5 minutes à la fin pour vérifier tes factorisations en redéveloppant.